La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro .
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (laecuación de la circunferencia ).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica , (dentro del Plano Cartesiano ) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.
Así la vemos
|
 |
| Así podemos expresarla |
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
También se usa como
(x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2
|
Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r) . Y que la a y la b(o la h y la k , según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b) .
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia , a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b) 2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a 2 ─ 2ab + b 2 .
|
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 (que en forma matemática representa una circunferencia).
De la ecuación ordinaria a la ecuación general
Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x 2 ─ 2ax + a 2 + y 2 ─ 2by + b 2 ─ r 2 = 0 ecuación que ordenada sería
x 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─ r 2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
a 2 + b 2 ─ r 2 = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia,la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales.
Si D = ─ 2a entonces 
Si E = ─ 2b entonces 
Si F = a 2 + b 2 ─ r 2 entonces 
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:
a 2 + b 2 ─ F > 0 (a 2 + b 2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─ r 2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a 2 + b 2 ─ r 2 = C para tener finalmente
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
( x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(x ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2
x 2 + y 2 = r 2
Ir a:
Sobre esta materia, actividades en Internet:
1.- Cálcula en esta actividad el centro y el radio de una circunferencia de ecuación en forma general .
2.- En esta actividad puedes cambiar las coordenadas del centro de una circunferencia y ver qué le pasa a la ecuación
No hay comentarios:
Publicar un comentario